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By Hansjoachim Walther

Das vorgelegte Buch setzt die von Professor HORST SACHS geschriebenen Bucher "Einfuhrung in die Theorie der endlichen Graphen" I (1970), II (1972) castle und rundet sie durch seinen Anwendungscharakter abo Es wendet sich an Studierende aller Fachrichtungen, die sich mit mathematischen Methoden der Operations forschung beschaftigen, aber auch an Absolventen und Praktiker, um ihnen ein Handwerkszeug zu vermitteln, das ihnen bei der Modellierung und Losung von organizations- und Optimierungsproblemen mit vornehmlich kombinatorischer Komponente helfen wird. Anwendung der Graphentheorie hat zwei Aspekte: Sie iet einerseits angewandte Graphentheorie, wobei im Vordergrund die numerische Ermittlung charakteristi scher GroJ3en eines vorgegebenen Graphen steht (z. B. die Frage, wie guy in einem Graphen eine minimale Bogenmenge finden kann, nach deren Entfernung der Graph kreisfrei ist; vgl. Kap. 9); sie ist andererseits Anwendung von Satzen und Algorithmen der Graphentheorie in anderen Wissensgebieten (bei der Festlegung einer optimalen Berechnungsfolge in einem Algorithmus spielen z. B. Schleifen eine entscheidende Rolle, und guy fragt, wie viele Ruckkehrbogen zerschnitten werden mussen, um die Abarbeitung schleifenfrei zu realisieren; vgl. ebenfalls Kap. 9). Beide Aspekte sind voneinander nicht zu trennen und finden im Buch ihren Niederschlag. In der kurz gehaltenen Einleitung werden die notwendigsten Begriffe der Graphentheorie zusammengestellt, die dann standig verwendet werden. Begriffe, die nur in einem Kapitel benotigt werden, werden dort definiert. Kapitel 1 legt die Grundlage fur aIle Kapitel, in denen wir es mit Stromproblemen zu tun haben; alle anderen Kapitel sind im wesentlichen unabhangig voneinander lesbar.

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10 Show that the foot F ≡ [x0 , y0 ] of the altitude from A ≡ [x, y] to the non-null line passing through [x1 , y1 ] and [x2 , y2 ] has coordinates x0 ≡ y0 ≡ (x2 − x1 )2 x − (y1 − y2 ) (x2 − x1 ) y − (y1 − y2 ) (x1 y2 − x2 y1 ) 2 (x2 − x1 ) + (y1 − y2 ) 2 (y1 − y2 )2 y − (y1 − y2 ) (x2 − x1 ) x − (x2 − x1 ) (x1 y2 − x2 y1 ) 2 (x2 − x1 ) + (y1 − y2 ) 2 . 5 Sides, vertices and triangles The following definitions are more precise than usual. Definition A side A1 A2 ≡ {A1 , A2 } is a set with A1 and A2 points.

For many centuries it appeared that there was no alternative to the geometry of Euclid. But in the seventeenth century the work of Fermat, Descartes and others opened up a dramatic new possibility. The Cartesian idea of defining a point as an ordered pair of numbers, and then analysing curves by algebraic manipulations of their defining equations is very powerful. It reduces the foundations of geometry to that of arithmetic and algebra, and allows the formulation of many geometrical questions over general fields.

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