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European Congress of Mathematics, Stockholm, June 27 - July 2, 2004

The ecu Congress of arithmetic, held each 4 years, has demonstrated itself as an immense overseas mathematical occasion. Following these in Paris, 1992, Budapest, 1996, and Barcelona, 2000, the Fourth eu Congress of arithmetic happened in Stockholm, Sweden, June 27 to July 2, 2004, with 913 contributors from sixty five nations.

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En tenant compte que F (1) = 1 , on obtient la formule bien connue (et qui admet de nombreuses autres démonstrations): TT r+OO 7ï^ ) = L En transformant (17) par la même méthode qu’en 5-b) ci-dessus, on a: - (18) r+ o o ¿ r - l = / Sin(7TX) Jq ^ d f l+t En transformant (18) par la même méthode qu’en 5-c) ci-dessus, on a: 7T (19) Sin(7TX; 3Ín(7TX) Jq 114* ^ ■di Soit maintenant n € N et x G C vérifiant 0 < 3f^(x) < n 4-1, et posons y = n + 1 - x . Alors U{y) > 0 et F (x) F (n 4 -1 - x ) = ( F (x) F (1 ~ x ) ) ( n - x ) ( n - 1 - x ) • • • (1 ~ x ) , donc: F (x) F (n 4 - 1 - x) _ = - X) r W r (1 - .

La série de fonctions Y k'^k converge simplement vers / sur ]0,1[ . Pour tout N € N , soit S n = Yk=o i € ] 0,1 [ , on a ^, d’où I I ^ I/ ( 0 I • Le théorème de la convergence dominée de Lebesgue s’applique à la suite {Sjsj) . On en déduit que cette suite converge en moyenne vers f , et en particulier, que Sjv(t) di f(t) d t . Or, fg S/v(t) di = ■ Par su»*«. en tenant compte de 1) ci-dessus: _ ~Jo - 1* l~t dt Question 3 ' En posant t = 1 - г¿, l’intégrale I{z) devient: 1 - (1 - u y I{z) = i du Jo Posons a = 1 + 9l(z) et /3 = ^ { z ) .

PARTIE I 1 ') a ) Montrer que si f eCo , alors / est uniformément continue sur b ) Si / 6 Cb , est-elle uniformément continue sur IR ? 2 °) Montrer que Co est un sous-espace fermé de Cb . PARTIE II Soit (Xn)n€N une suite de fonctions continues de IR dans [0, 1] telles que Xn{x) = 1 si IXI < n et Xn{x) = 0 si | x | > n + l . I ’) Soit / e Cb et tp € Ccont • a ) Montrer qu’on peut définir une fonction f* (p : R C en posant, pour æ € IR : i f *

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