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By Szymon Dolecki

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1. Plus précisément, Cantor introduit en 1872 ensemble dérivé et voisinage et en 1884 ouvert et fermé, Peano en 1887 intérieur, fermeture et frontière, qui réapparaissent chez Jordan en 1892. , [9]). Elle est entrée dans la phase mûre en 1947/48 avec les Convergences [6] de Gustave Choquet (19152006) W. 1. Topologies Dans le chapitre II nous avons introduit les notions d'ouvert et de fermé d’un espace métrique, ainsi que celles d'intérieur et de fermeture. Chacune de ces notions détermine toutes les autres sans faire référence à la métrique !

Si (xn)k)k est une suite pour tout n, alors une suite (xnp)kp )p s’appelle transversale de ((xn,fc)fc)n si limp-^oo^p = oo. 10. Dans un espace métrique, s ix = limn_>00 x n et x n = hmk^cx) xntk P°ur tout n } alors il existe une suite transversale (x np,kp )p telle que x = lirrip-^oox npikp (metr). Ce corollaire peut être prouvé directement (Voir l’exercice 13). 2. Une suite (xn)n converge vers x ^ . fc") • •• formant une suite transversale convergeant vers x ^ . 11. Soit (X>d) un espace métrique et A C X .

Ceci contraste avec la propriété de la métrique dans un espace euclidien observée tout à l’heure. Dans tout espace métrique, on peut séparer deux éléments quelconques par des boules. 4. Si xo,xi sont deux éléments distincts d fun espace métrique, alors il existe r > 0 tel que B { x ^ r ) flJS(xi,r) = 0 . D é m o n s t r a t i o n . 2), d(xo,x\) > 0. Posons r := \d (xo,xi). Si x G B ( x ^ r ) fl B (x i,r), alors 2r = d(xo,xi) < d(xo,x) + d(x,xi) < 2r, ce qui est une contradiction. □ Un élément x d’une partie A d’un espace métrique (X,d) est dit isolé dans A s’il existe r > 0 tel que JB(x, r) fl A = {x}.

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