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By Vijay V. Vazirani

Le champ des algorithmes d'approximation est aujourd'hui l'un des domaines de recherche les plus actifs en informatique. Il allie l. a. profondeur de l. a. th?orie math?matique aux promesses d'applications pratiques d'un int?r?t consid?rable. l. a. plupart des probl?mes issus d'applications suitable de domaines aussi diff?rents que l. a. belief de circuits VLSI, los angeles notion et l. a. planification de r?seaux, l'ordonnancement, los angeles th?orie des jeux, los angeles biologie ou l. a. th?orie des nombres, sont des probl?mes NP-difficiles. Leur r?solution exacte demanderait des ressources informatiques inaccessibles et ne peut donc ?tre envisag?e. Pour faire face ? cette state of affairs, un grand nombre d'algorithmes proposant des strategies approch?es ? ces probl?mes ont ?t? d?velopp?s. Une quantit? consid?rable de r?sultats nouveaux a ?t? ?tablie lors de los angeles derni?re d?cennie et a r?volutionn? ce champ d'?tude. Le d?fi relev? par cet ouvrage est de pr?senter clairement les th?ories et m?thodologies sous-jacentes sans rien ?ter ? los angeles beaut? des r?sultats. Ce livre reveal ces questions algorithmiques complexes en proposant des d?monstrations simples et intuitives accompagn?es de nombreux exemples.

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Example text

Les propri´et´es ci-dessus garantissent que la coupe associ´ee est bien une coupe de poids minimum entre u et v, ce poids ´etant w (e). Ainsi, nous n’avons besoin que de n − 1 coupes, encod´ees par les arˆetes d’un arbre de Gomory-Hu, pour trouver une coupe de poids minimum s´eparant chacune des n2 paires de sommets de G. La figure suivante pr´esente un graphe pond´er´e et son arbre de GomoryHu associ´e. 6 montre comment construire un arbre de GomoryHu pour un graphe non orient´e, en utilisant seulement n − 1 calculs de flot maximum.

1 (Coupe multis´ eparatrice)4 Etant donn´e un ensemble de terminaux S = {s1 , s2 , . . , sk } ⊆ V , une coupe multis´eparatrice est un ensemble d’arˆetes dont le retrait du graphe d´econnecte les terminaux entre eux. Trouver une coupe multis´eparatrice de poids minimum. 2 (Coupe en k morceaux de poids minimum)5 Une coupe en k morceaux (ou k-coupe) d’un graphe est un ensemble d’arˆetes dont le retrait d´econnecte le graphe en k composantes connexes. Trouver une coupe en k morceaux de poids minimum.

Par cons´equent OPTS = |s | OPT. Soit s∗ un surfacteur minimum de s1 , . . , sn , |s∗ | = OPT. Pour d´emontrer la seconde in´egalit´e, il suffit d’exhiber une couverture par ensembles de coˆ ut inf´erieur a` 2 · OPT. 22 Algorithmes d’approximation ´ Etudions les positions relatives des premi`eres occurrences (c’est-`a-dire les plus a` gauche) de chacun des mots s1 , . . , sn dans le mot s∗ . Puisqu’aucun des s1 , . . , sn , n’est facteur d’un autre, les positions de d´epart de ces n occurrences sont toutes distinctes.

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