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By Antoine Chambert-Loir

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European Congress of Mathematics, Stockholm, June 27 - July 2, 2004

The ecu Congress of arithmetic, held each 4 years, has validated itself as a big overseas mathematical occasion. Following these in Paris, 1992, Budapest, 1996, and Barcelona, 2000, the Fourth ecu Congress of arithmetic happened in Stockholm, Sweden, June 27 to July 2, 2004, with 913 contributors from sixty five international locations.

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Nonlinear Parabolic Equations and Hyperbolic-Parabolic Coupled Systems

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N Par suite, si P = bn X , on a ¯ ψ(ϕ(cl(P))) = ψ(ϕ(P)) = ψ(P(1/a)) = ψ( = (bn /a n )) = cl(bX n ) = cl ψ(bn /a n ) bn X n = cl(P) ¯ = id. Enfin, et ψ ◦ ϕ n n ¯ ¯ ϕ(ψ(b/a )) = ϕ(cl(bX )) = ϕ(aX n ) = b/a n ¯ ◦ ψ = id. L’homorphisme ϕ ¯ est donc un isomorphisme, ce qu’il fallait démontrer. et ϕ La généralisation au cas d’une partie multiplicative quelconque est laissée en exercice (exercice 60). D. Localisation et quotient Enfin, étudions brièvement les idéaux de S −1 A. 48. — Soit A un anneau commutatif.

B) Si S est formé d’éléments inversibles, alors S −1 A = A. c) Si A = Z et S = {1; 10; 100; . } est l’ensemble des puissances de 10 dans Z, alors −1 S A sera l’ensemble des nombres décimaux, c’est-à-dire l’ensemble des nombres rationnels qui peuvent s’écrire sous la forme a/10n avec a ∈ Z et n ∈ N. Ainsi, ce qu’on veut imiter, c’est tout simplement le calcul de fractions que l’on apprend au collège. A. Construction Sur l’ensemble A × S, définissons la relation d’équivalence ∼ par : (a, s) ∼ (b, t ) si et seulement s’il existe u ∈ S tel que u(at − bs) = 0.

45) Soit A un anneau commutatif, soit a et b deux éléments de A. Montrer les assertions suivantes : a) l’anneau A[X ]/(X − a) est isomorphe à A ; b) l’anneau A[X , Y ]/(Y − b) est isomorphe à A[X ] ; c) l’anneau A[X , Y ]/(X − a, Y − b) est isomorphe à A. 46) Soit K un corps. On pose A = K [X , Y ]/(X 2 , X Y , Y 2 ). a) Déterminer les éléments inversibles de A ; b) déterminer tous les idéaux principaux de A ; c) déterminer tous les idéaux de A. 47) Soit A un anneau et soit I l’idéal bilatère engendré par les x y − y x pour x, y ∈ A.

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