By Susanne Danz

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Additional info for Algebraische Strukturen [Lecture notes]

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Das impliziert b = 0 und a ∈ {1, −1}. Somit ist R× = {1, −1}. Insbesondere ist 0 = p ∈ R R× . h. N (x) ∈ {1, 3, 9}. Der Fall N (x) = 3 kann nicht vorkommen, denn sonst w¨are x = a + b −5 f¨ur geeignete a, b ∈ Z und 3 = a2 + 5b2 , Widerspruch. Im Fall N (x) = 1 ist x ∈ {1, −1}, und im Fall N (x) = 9 ist N (y) = 1 und y ∈ {1, −1}. Dies zeigt, dass x ∈ R× oder y ∈ R× sein muss, p also irreduzibel ist. √ √ Andererseits ist N (p) = (2 + −5)(2 − −5) = 9 = 3 · 3. Also ist p | 9, aber p 3, so dass p kein Primelement in R ist.

Der Zusatz folgt aus dem Beweis der Implikation (ii)⇒(iii). 4, so heißt I Ideal von R (oder Ideal in R), und R/I heißt Faktorring von R modulo I; seine Elemente heißen Restklassen von R modulo I. Der Epimorphismus ν : R → R/I heißt der kanonische Epimorphismus von R auf R/I. Man schreibt auch I R. Achtung: Jedes Ideal eines Ringes ist auch ein Normalteiler der additiven Gruppe (R, +), aber nicht jeder Normalteiler von (R, +) ist ein Ideal von R. Man darf die Begriffe Ideal“ und Normal” ” teiler“ daher nicht verwechseln, auch wenn die Bezeichnungen a¨ hnlich sind.

Folglich ist ggT(9, 6 + 3 −5) = ∅. 46 A Appendix — Das griechische Alphabet Name Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda My Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega Kleinbuchstabe α β γ δ ε, ζ η ϑ, θ ι κ λ µ ν ξ o π, ρ σ τ υ ϕ, φ χ ψ ω 47 Großbuchstabe A B Γ ∆ E Z H Θ I K Λ M N Ξ O Π P Σ T Υ Φ X Ψ Ω B Appendix — altdeutsche Buchstaben Buchstabe A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Druckschrift A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Schreibschrift ❆ ❇ ❈ ❉ ❊ ❋ ● ❍ ■ ❏ ❑ ▲ ▼ ◆ ❖ P ◗ ❘ ❙ ❚ ❯ ❱ ❲ ❳ ❨ ❩ Literatur [1] T.